微课课堂 · 模块二 方程与不等式 · 第02节 ｜ 微课编号：WK-方程-02 ｜ 前置：微课01
开场为什么这一节能"白捡"6分
中考账本：判别式Δ判断根的个数，是选择题/填空钉子户（3分）；韦达定理求对称式，是大题里"送分的一问"（3分）。两样都不难，但不会的人一个字都写不出，会的人30秒收分——这是全卷性价比最高的6分。
更深一层：二次函数压轴题"抛物线与x轴交点个数"、解析几何里"直线与抛物线有两个交点求k的范围"，本质都是Δ。这一节是把压轴题门槛降低的课。
📖 故事钩子 · 30秒版
400年前法国律师韦达，业余玩数学。所有人都在老老实实解方程，他把一堆方程的根摆在一起盯着看，突然发现：方程还没解，两根的和与积早就写在系数里了。一个律师，靠"换角度看问题"抢了数学家的饭碗。今天我们就学他的两招：先看"天气预报"（Δ），再读"档案袋"（韦达）。
①判别式Δ：方程根的天气预报
💡 类比：出门前看天气
出门前先看天气预报，决定带不带伞；解方程前先算Δ = b² − 4ac，决定"有几个根"——别等解到一半才发现无解，白忙活。
| Δ的值 | 根的情况 | 记忆画面 |
|---|
| Δ > 0 | 两个不相等实数根 | 抛物线穿x轴两次 ☂☂ |
| Δ = 0 | 两个相等实数根 | 抛物线刚好蹭到x轴 ☂ |
| Δ < 0 | 无实数根 | 抛物线悬空，碰不到x轴 ✗ |
🤔 先想30秒
为什么叫"判别式"？——它"判别"的是根的存在与个数，而且不用真解方程。注意Δ=0时说"两个相等的实数根"而不说"一个根"（x₁=x₂，本质还是两个，只是重合了）——这是表述规范分。
例题1 · 老师板书：不解方程，判断 2x² − 3x + 4 = 0 的根的情况
a=2，b=−3，c=4
Δ = b² − 4ac = (−3)² − 4×2×4 = 9 − 32 = −23 < 0
∴ 方程无实数根。
← 每步为什么：①b=−3代入b²要平方，负号自动消失；②−4ac中4×2×4=32，前面带负号；③比较大小即得结论，全程没解方程——3分到手
反方向用法（更常考）："方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围"——翻译成Δ>0，解一个不等式。注意：若二次项系数含m，还要额外保证 a≠0（两个条件取交集，漏a≠0是最常见的扣分）。
✏️ 跟做1：关于x的方程 x² − 2x + m = 0 有两个不相等的实数根，求m的取值范围。
提示 "有两个不相等实根" ⟺ Δ > 0。
Δ = (−2)² − 4×1×m = 4 − 4m > 0 → 4 > 4m → m < 1。（本题二次项系数是1不含参数，不用管a≠0；若系数是m−1，就要加m≠1再取交集）
✏️ 变式1（独立做）：方程 mx² + 2x − 1 = 0 有两个不相等的实数根，求m范围。
坑来了：①m≠0（否则是一次方程，谈不上"两个根"）；②Δ=4+4m>0 → m>−1。答案：m>−1 且 m≠0。只答m>−1的，选择题里正好掉进备选错误答案。
②韦达定理：两根的档案袋
设 x₁、x₂ 是 ax² + bx + c = 0（a≠0，Δ≥0）的两根，则：
x₁ + x₂ = −b/a x₁ · x₂ = c/a
💡 类比：档案袋
解方程=审问本人；韦达=看档案：两根的"合影"（和）与"共同财产"（积）早就登记在系数里。审问之前，档案先看——快而且稳。
🤔 先想30秒：和为什么是 −b/a 而不是 b/a？
用求根公式把两根相加：x₁+x₂ = [−b+√Δ]/2a + [−b−√Δ]/2a = −2b/2a = −b/a。√那一对正负抵消了，剩下两个−b——负号就是这么来的。理解了来历，就再也不会丢负号。
例题2 · 老师板书：x₁、x₂ 是 x² − 6x + 8 = 0 的两根，不求根，求 ① x₁+x₂ ② x₁x₂ ③ x₁²+x₂²
先验前提：Δ = 36 − 32 = 4 ≥ 0 ✓ ← 动笔先验Δ，这是保命步骤
① x₁+x₂ = −(−6)/1 = 6 ② x₁·x₂ = 8/1 = 8
③ x₁²+x₂² = (x₁+x₂)² − 2x₁x₂ = 36 − 16 = 20 ← 平方和不是"和的平方"！差的平方才是：配方 (x₁+x₂)² 里多出2x₁x₂，减掉它
对称式翻译表（必须练到条件反射）
| 要求的式子 | 翻译成 | 口诀 |
|---|
| x₁² + x₂² | (x₁+x₂)² − 2x₁x₂ | 和方减二积 |
| 1/x₁ + 1/x₂ | (x₁+x₂)/(x₁x₂) | 通分即和比积 |
| (x₁−x₂)² | (x₁+x₂)² − 4x₁x₂ | 和方减四积 |
| x₁x₂² + x₁²x₂ | x₁x₂(x₁+x₂) | 提公因式 |
| |x₁−x₂| | √[(x₁+x₂)²−4x₁x₂] | 先平方再开方 |
✏️ 跟做2：接例题2，求 ① 1/x₁ + 1/x₂ ② (x₁−x₂)²
① (x₁+x₂)/(x₁x₂) = 6/8 = 3/4；② 36 − 4×8 = 4。（验算：真实两根是2和4，1/2+1/4=3/4 ✓，(2−4)²=4 ✓——平时练时可以解出来验一遍，考试就不用了）
反着用：已知两根，直接造方程
例题3 · 老师板书：以 2+√3 和 2−√3 为根的一元二次方程
和 = (2+√3)+(2−√3) = 4 ← √3一正一负抵消，无理数变有理数
积 = (2+√3)(2−√3) = 4 − 3 = 1 ← 平方差公式 (a+b)(a−b)=a²−b²
方程：x² − (和)x + 积 = 0 → x² − 4x + 1 = 0
③实战：中考怎么考（六题型速览）
| 题型 | 长相 | 破法 |
|---|
| 1 判根 | 不解方程判根况 | 算Δ，比大小 |
| 2 求参数范围 | "有实根/两不等根，求m" | Δ≥0 或 Δ>0（+a≠0） |
| 3 求对称式 | "x₁²+x₂²=?" | 翻译表 |
| 4 造方程 | "以两根为根写方程" | 和积代入 x²−(和)x+积 |
| 5 根的结构 | "一根是另一根的2倍/互为倒数" | 设关系式+韦达联立 |
| 6 二次函数里 | "抛物线与x轴两交点" | 翻译成Δ>0 |
例题4 · 题型5示范：x² − 4x + m = 0 的两根满足 x₁ − x₂ = 2，求m
两边平方：x₁² − 2x₁x₂ + x₂² = 4，即 (x₁+x₂)² − 4x₁x₂ = 4 ← 为什么平方？因为(x₁−x₂)²能翻译，(x₁−x₂)不能直接翻译
x₁+x₂ = 4，x₁x₂ = m → 16 − 4m = 4 → m = 3 ← 验根：m=3时方程x²−4x+3=0根为1和3，3−1=2 ✓ 且Δ=4>0 ✓
✏️ 变式2（独立做·2024湖北风格）：关于x的方程 x² + (2k−1)x + k² = 0 两根互为倒数，求k。
提示 互为倒数 ⟺ x₁·x₂ = 1。
①x₁x₂ = k²/1 = 1 → k = ±1；②必须验Δ：k=1时方程x²+x+1=0，Δ=1−4=−3<0 无实根，舍去；k=−1时方程x²−3x+1=0，Δ=9−4=5>0 ✓。答案：k = −1。——不验Δ的话会多答一个k=1，这题就白算了。"韦达必验Δ"第二次出现，可见其分量。
④总结：带走这四样
📌 本节口诀
解前先算Δ，根数它安排：正两零一负没有；
韦达读档案：和负b比a，积c比a；
对称式先翻译，平方和"和方减二积"；
用韦达，验Δ——不验白算分没有。
易错清单（考前扫一遍）
① 用韦达不验Δ（本节两次踩坑示范，中考判卷直接扣）
② x₁+x₂ = b/a（丢负号——想"两根相加√抵消剩−2b"的来历）
③ x₁²+x₂² 写成 (x₁+x₂)²（漏减2x₁x₂）
④ Δ=0 说成"一个根"（规范：两个相等的实数根）
⑤ 求参数范围题：二次项系数含参时忘 a≠0
👨👩👧 家长陪学卡（今天10分钟）
1. 问："Δ三种情况分别什么根？"（答"正两个、零两个相等的、负没有"=过关）
2. 问："x₁+x₂等于什么？为什么有负号？"（能说出"负b比a，因为开方那对正负抵消"=真懂）
3. 让孩子讲例题4给你听——重点听他讲"为什么要平方"（因为对称式才能翻译）。讲清楚=这一节毕业。