微课课堂 · 模块二 方程与不等式 · 第04节 ｜ 微课编号：WK-方程-05 ｜ 前置：无（七年级不等式基础即可）
开场为什么"不等"比"相等"更常用
中考账本：湖北卷约10分——解不等式（组）并求数轴/整数解（4-6分）+ 方案决策大题（6-8分，常与一次函数/方程结合）。方案决策题是华罗庚统筹故事的直接考点（故事库样章03已讲"甲店乙店哪家划算"）。
生活账本：预算不超500买文具、时间不少于2小时、租车几辆才够坐还最省钱——生活里"等式"少见，"在范围里选最优"才是常态。不等式就是描述"范围"的数学。
📖 故事钩子（已上线的老朋友）
华罗庚的统筹法讲"怎么安排最省时"，优选法讲"在范围里找最优点"——本节的方案决策题就是优选法的考场版。回看故事库《烧水泡茶的时间战术》再来做题，会格外亲切。
①不等式的性质：一条铁律 + 一条大坑
| 操作 | 不等号 | 口诀 |
|---|
| 两边加/减同一个数 | 不变 | 加减随便动 |
| 两边乘/除正数 | 不变 | 乘正不变号 |
| 两边乘/除负数 | 反向！ | 乘负要掉头 |
💡 类比：天平与跷跷板
不等式是跷跷板：两边同时加东西，重的那边还是重。但"乘负数"相当于让两边的人掉头坐到对面——原来沉的一端变翘，方向必须反过来。掉头不改，全题皆错。
例题1 · 老师板书：解 −2x + 4 > 6，并把解集表示在数轴上
移项：−2x > 6 − 4 → −2x > 2 ← 移项变号，跟方程一样
两边除以−2：x < −1 ← 除以负数，> 掉头变 <！这是全题唯一考点
解集 x < −1；数轴：从−1向左画折线，−1处画空心圈（取不到）
🤔 先想30秒：数轴上什么时候画空心圈、什么时候实心点？
取得到画实心（≤、≥），取不到画空心（<、>）。这是阅卷的硬性步骤分，圈点画错扣1分。
✏️ 跟做1：解 3(x−1) ≤ 5x + 7 并求数轴表示。
3x−3 ≤ 5x+7 → −2x ≤ 10 → x ≥ −5（除以−2掉头）。数轴：从−5向右，−5处实心点。
✏️ 变式1（独立做）：解 (x+1)/2 − 1 > (2x−1)/3
同乘6（正数不掉头）：3(x+1) − 6 > 2(2x−1) → 3x+3−6 > 4x−2 → 3x−3 > 4x−2 → −x > 1 → x < −1（最后除以−1掉头——本题埋了两个坑：去分母乘正数、移项后系数为−1）。
②不等式组：取"公共部分"（大大大小口诀）
🎯 四句口诀（解集=两个条件的公共部分）
同大取大（x>2 且 x>5 → x>5）｜同小取小（x<2 且 x<5 → x<2）
大小小大中间夹（x>2 且 x<5 → 2<x<5）｜大大小小解不了（x>5 且 x<2 → 无解）
例题2 · 老师板书：解不等式组 {3x−1 > 2(x+1) ; (x+5)/2 > x−1} 并求整数解
①式：3x−1 > 2x+2 → x > 3 ← 分别解，各自处理
②式：x+5 > 2x−2 → −x > −7 → x < 7 ← 又是除以−1掉头；②里x<7是"小"，①里x>3是"大"——大小小大中间夹
解集：3 < x < 7
整数解：4, 5, 6 ← 求整数解=在开区间里数整数，端点3和7取不到（若题目是≥≤就要数端点）
✏️ 跟做2：解组 {2x+1 < 3x ; (x+2)/3 ≥ 1}，求整数解。
①x>1；②x+2≥3 → x≥1。同大取大…不对，是 x>1 与 x≥1：公共部分 x>1（大于1且大于等于1=大于1）。整数解：2, 3, 4, …（无数个！这题考你敢不敢答"无数"）——注意与有限范围题的区别，中考爱在"整数解个数"上做文章。
✏️ 变式2（独立做）：不等式组 {x > m ; x < 4} 无解，求m范围。
"大大小小解不了"：x>m 且 x<4 无解 ⟺ m ≥ 4。注意端点：m=4时是 x>4且x<4，仍无解（x不能同时严格大于和小于4），所以含等号。若题目改成 {x ≥ m; x < 4}，则m=4时x≥4且x<4仍无解，答案不变 m≥4；但若两式都是严格或都含等，端点就要逐个试——含参端点，代入特值检验是万能保险。
③方案决策：不等式版的"最优化"
方案决策题三步定型：设变量 → 列不等式（组）→ 解出范围后按题意选方案。与方程的区别：方程定死一个值，不等式给出一个"可选地带"，再从中挑整数方案。
例题3 · 完整建模板书（2024·湖北风格）：班级购买奖品，笔记本5元/本，钢笔12元/支，共买30件，预算不超过220元，且钢笔至少5支。有哪几种购买方案？
设：钢笔x支，则笔记本(30−x)本。← 两个未知数一个总量关系，先消元
列：①12x + 5(30−x) ≤ 220 ②x ≥ 5 ③隐含：x ≤ 30、x为整数 ← 预算"不超过"=≤；"至少"=≥；件数自然有限制——三个条件一个都不能漏
解：①12x+150−5x ≤ 220 → 7x ≤ 70 → x ≤ 10；结合②③：5 ≤ x ≤ 10
选方案：x=5,6,7,8,9,10 共6种方案 ← 求方案个数=数范围内的整数；若再问"哪种最省钱"，把y=12x+5(30−x)=7x+150，x=5时最省=185元——接一次函数增减性，那是下一模块的联动点
答：钢笔5~10支（笔记本对应25~20本），共6种方案。
✏️ 变式3（独立做）：接例题3，若钢笔单价降到10元，预算不变仍220元，方案怎么变？
10x + 5(30−x) ≤ 220 → 5x ≤ 70 → x ≤ 14，结合x≥5且x≤30：5≤x≤14，共10种方案（比原来多4种）。体会：单价降→同样的钱能买更多→方案变多——数学结论和生活直觉对上了，这就叫"建模检验"。
④总结：带走这四样
📌 本节口诀
乘除负数要掉头，数轴空心实心看取值；
同大取大同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了；
决策三步：设、列、选，"不超过"与"至少"先翻译；
整数方案数着报，含参端点代特值。
易错清单（考前扫一遍）
① 乘除负数不变号（全卷第一大坑，本节例题反复埋）
② 数轴圈点画反（≤≥实心、<>空心）
③ 求整数解忘数端点归属（严格不等号端点取不到）
④ 方案题漏隐含条件（件数非负、为整数）
⑤ 含参数无解/有解判断端点是否含等号（用特值代入检验）
👨👩👧 家长陪学卡（今天10分钟）
1. 问："不等式两边同时除以−2，符号怎么办？"（秒答"掉头"=过关）
2. 问："'大大''小小''大小小大''大大小小'分别什么意思？"（能各举一例=口诀入脑）
3. 让孩子讲例题3，重点听他有没有把"不超过""至少"翻译成 ≤、≥——翻译对了，方案题就是送分题。