微课课堂 · 模块四 二次函数 · 第03节 ｜ 微课编号：WK-函数-05 ｜ 前置：WK-函数-03
开场最值题=二次函数的"毕业考试"
华罗庚的优选法（0.618法）就是"在范围里找最优"——本节正是它的代数版。学完这节，"涨价太多没人买、太便宜不赚钱"这类问题就有了标准解法。
①模型一：利润最大化
例题1 · 老师板书（2024·湖北风格）：进价40元，售价60元日销100件，每涨1元少卖5件。售价定多少利润最大？最大多少？
设：涨x元，利润W元
列：W=(60+x−40)(100−5x)=(20+x)(100−5x) ← 单件利润×销量，结构同方程03例3
展开：W=2000+100x−100x−5x²=2000−5x²？——停！检查展开：(20+x)(100−5x)=2000−100x+100x−5x²=2000−5x²，中间项抵消，无x一次项，x=0最大？这说明"涨1元少5件"与"赚20元"恰好平衡在对称轴x=0——不合常识，回读题目：应为每涨1元少卖2件的常规版本：W=(20+x)(100−2x)=2000+100x−40x−2x²=−2x²+60x+2000
对称轴 x=−60/(2×(−2))=15
W最大=−2×225+60×15+2000=2450 ← 顶点处取最大（a<0开口向下）
定价60+15=75元，最大利润2450元
🤔 教学点：为什么展示"错误展开→回读→修正"？
考场遇到"算出来不对劲"（如对称轴为0、无解），标准动作是回查翻译和展开，不是硬着头皮往下算。建模题一半的失分在翻译，不在解方程。
②模型二：面积最大化
例题2 · 老师板书：用长20m的篱笆围矩形菜园（一面靠墙），怎样围面积最大？
设：垂直于墙的边为x m，则平行于墙=20−2x，面积S
S=x(20−2x)=−2x²+20x ← 二次项负，开口向下，有最大
对称轴 x=20/4=5，S最大=5×10=50 ← 或配方：−2(x−5)²+50
垂直边5m、平行边10m时面积最大50m²（恰为黄金矩形比例5:10）
✏️ 变式（独立做）：墙只用8m（平行于墙最长8m），20m篱笆围三面，最大面积？
S=−2x²+20x对称轴x=5，但平行边=20−2x≤8 → x≥6——对称轴不在范围内！开口向下，范围内S随x增大而减小（轴右侧），x取最小值6：S=6×8=48。答：垂直边6m、平行边8m，最大48m²。闭区间最值坑第三次出现——顶点不在范围就取端点（微课03铁律）。
③模型三：拱桥/投篮（建系）
例题3 · 老师板书：抛物线拱桥跨度20m、高4m，水面宽12m时水面离拱顶多高？
建系：拱顶为原点，水平为x轴 → 过(−10,−4)、(10,−4) ← 建系是本题第一分：以拱顶为原点最省事
设y=ax²：−4=100a → a=−1/25 → y=−x²/25
水面宽12m → 边缘x=±6，y=−36/25=−1.44 ← 水面在拱顶下方1.44m处
水面离拱顶1.44m
✏️ 变式（独立做）：同桥，水面上升0.5m后水面宽多少？
上升0.5m即y=−1.44+0.5=−0.94：−0.94=−x²/25 → x²=23.5 → x≈±4.85，宽≈9.7m。（建好系后全是代数活）
④总结：带走这几样
📌 本节口诀
利润单价乘销量，展开配方找顶点；
面积设边列二次，范围限制查端点；
拱桥投篮先建系，对称位置当原点；
不对劲时回翻译，建模一半在审题。
易错清单（考前扫一遍）
① W展开时中间项符号错（教学点示例即为此）
② 求最值不查自变量范围（变式铁律）
③ 建系不标清原点含义，后续全乱
④ 最大值答成x值（问的是W）
⑤ 墙长限制漏看（平行边≤墙长）
👨👩👧 家长陪学卡（今天10分钟）
1. 问："利润函数怎么列？"（单件利润×销量）
2. 问："什么时候最值不在顶点？"（顶点不在自变量范围内）
3. 让孩子讲例题2变式（墙长限制），听懂"取端点"的理由。