微课课堂 · 模块七 圆 · 第02节 ｜ 微课编号：WK-几何-06 ｜ 前置：WK-几何-05
开场切线：碰一下就走的直线
切线与圆只有一个公共点，且在该点与半径垂直。这个"一触即离"的关系带来中考最规范的证明套路。
①d与r的比较：距离说话
| 关系 | 判定 |
|---|
| 点在圆外/上/内 | d>r / d=r / d<r |
| 直线与圆相离/相切/相交 | d>r / d=r / d<r |
🤔 为什么d=r时恰好相切？
d是圆心到直线的最短距离，=r意味着直线离圆心最近的点恰好在圆上、其余点都在圆外——一个公共点，正是切线定义。
②证切线两板斧（有共点连半径/无共点作垂直）
例题1 · 老师板书（有公共点型）：AB是⊙O直径，BC切⊙O于B，∠ABC=90°？——规范题：AB为直径，C在圆外，AC交圆于D，∠C=∠ABD，证CD是切线需？改为标准示范：OC=OB，∠OCB=∠OBC，证BC是切线
连O与切点B：∵∠OBC+∠ABC=90°且∠ABC=∠OCB（等边对等角）…标准路径：
有公共点 → 连半径，证半径⊥直线：OB=OC → ∠OBC=∠OCB；∠A=∠OCB（同弧圆周角）→ ∠OBA=∠A+∠OCB…最终 ∠OBC=90°（等角代换） ← 核心动作只有一个：连接圆心与公共点，把"证切线"翻译成"证垂直"
∴BC⊥OB于半径外端 → BC是⊙O的切线
🎯 两板斧口诀
有公共点：连半径，证垂直（用角度代换/直径直角）
无公共点：作垂直，证半径（证d=r）——用错板斧，整题0分。
③从外一点引两切线
例题2：PA、PB切⊙O于A、B，∠APB=60°，求∠AOB
OA⊥PA，OB⊥PB（切线性质） ← 切线垂直过切点的半径
四边形OAPB中：∠OAP=∠OBP=90° → ∠AOB=360−90−90−60=120° ← 四边形内角和360°
顺带：PA=PB（切线长相等）、OP平分∠APB（连线平分角） ← 切线长定理全家桶
✏️ 变式（独立做）：△ABC内切圆半径r=3，面积S=12，求周长（用面积分割法）
连心线分三个三角形：S=½·r·(a+b+c) → 12=1.5×周长 → 周长=8。"S=半周长×内切圆半径"是三角形与圆的标准桥梁，压轴题常用。
④总结：带走这几样
📌 本节口诀
位置关系看距离：d比r大外、等切、小内；
证切线两板斧：有共点连半径证垂直，无共点作垂直证半径；
切线长相等，连线平分角；
面积等于半周乘内切半径。
易错清单（考前扫一遍）
① 两板斧用反（无公共点硬连半径）
② 切线性质（⊥半径）与判定（⊥→切）方向颠倒
③ 内切圆/外接圆混淆（内切r到边，外接R到顶点）
④ 四边形内角和记成360°以外
👨👩👧 家长陪学卡（今天10分钟）
1. 问："d和r什么关系时相切？"（相等）
2. 问："证切线的两板斧？"（连半径证垂直/作垂直证半径——让他复述完整）
3. 报：∠APB=80°两切线，∠AOB？（360−90−90−80=100°）