微课课堂 · 模块八 相似与三角函数 · 第02节 ｜ 微课编号：WK-几何-08 ｜ 前置：WK-几何-07
开场给角度配上"汇率"
相似告诉我们"同角度的直角三角形边成比例"——那把每个角度的边比例造一张表，就是三角函数。sin/cos/tan本质是角的"边长汇率"。
①sin/cos/tan：三句话定义
Rt△ABC，∠C=90°，对∠A而言：
sinA = 对边/斜边 cosA = 邻边/斜边 tanA = 对边/邻边 ← "对斜邻斜对邻"（SOH-CAH-TOA中文版）
| 角 | sin | cos | tan |
|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
🤔 记法
30°和60°互补互换（sin30°=cos60°）；45°自等；tan30°·tan60°=1。这张表每周默写一次。
②知二求三：设未知数解三角形
例题1 · 老师板书：Rt△中∠A=30°，斜边10，求两直角边
BC=10·sin30°=5 ← 对边=斜边×sin（所求×汇率）
AC=10·cos30°=5√3 ← 邻边=斜边×cos
勾股验算：25+75=100 ✓
③仰角俯角/坡度：三步建模型
例题2 · 老师板书（2024·风格）：大楼顶部D测得树顶A俯角60°、树底B俯角45°，楼高30m（D到地面），求树高（结果保留根号）
画图建系：树AB在楼正前方，过D的水平线；树顶俯角60° → ∠ADE式…设树顶对D的俯角60°、水平线交树所在铅垂线于C ← 俯角从水平线往下量
DC段：俯角45° → DC=水平距离×tan45°…规范解：设水平距离x：楼底到B俯角45° → 水平距离=30−0=30？——按45°俯角对树底：tan45°=（楼高30−树底高0）…水平距=30m？不对，45°俯角从D看B：竖直下降30=水平距离×1 → 水平距离x=30m…树底与楼同高地面 → x=30 ← 检查：45°俯角线、竖直差=水平距
从D看树顶A俯角60°：竖直差=树顶到D的高度差=x·tan60°=30√3 → 树高=30−30√3？负值——回查：俯角60°竖直差应小于45°者 → 60°俯角看到的是更低的点？不对，俯角越大看得越低：60°俯角竖直差>45°俯角竖直差矛盾——数据应互换（树顶俯角45°、树底俯角60°的常规版）：树顶45° → 树顶高度差=x；树底60° → 30=x·tan60°…x=30/√3=10√3 → 树高=30−10√3·tan45°=30−10√3=30−10√3 m ← 教学点：算出负值/超界=回查"谁看谁、从哪量"，俯角基准是水平线
✏️ 变式（独立做·常规版）：楼顶测树顶俯角45°、树底俯角60°，楼高21m，求树高
树底俯角60°：水平距x=21/tan60°=21/√3=7√3；树顶俯角45°：树顶到楼顶竖直差=x·tan45°=7√3 → 树高=21−7√3≈8.9m。（两俯角差=树高：楼高−x·tan45°）
④总结：带走这几样
📌 本节口诀
对斜邻斜对邻边，锐角函数记心间；
三十四五六十度，特殊值表周周默；
仰角俯角水平起，坡度铅直比水平；
斜化直、作垂线，设未知数解三角形。
易错清单（考前扫一遍）
① 特殊值表记混（√3/2和1/2配错角）
② 仰角俯角基准线搞错（从水平线量，不从地面）
③ 坡度=铅直:水平（不是角度本身）
④ 解出负值不回查图形关系
👨👩👧 家长陪学卡（今天10分钟）
1. 问："sin30°、tan60°分别是多少？"（1/2、√3）
2. 问："俯角从哪里量起？"（观察点的水平线）
3. 让孩子讲例题2的"负值回查"过程——能讲清"俯角越大看得越低"就是真懂方位。