微课课堂 · 模型专题 · 压轴工具箱 · 第02节 ｜ 微课编号：WK-模型-02 ｜ 前置：WK-模型-01
开场当系数不是1
将军饮马管k=1；一旦出现"½PB""2PA"这类带系数的，就要请出两位新武器。
①k<1：构造正弦转化
例题1：PA + ½PB 最小（P在直线l上动）
½PB = PB·sin30° → 过B作与l成30°的直线m ← 把"系数"翻译成"角的正弦"：P到m的垂距=PB·sin30°
PA+½PB = PA + P到m的垂距 → A到m的垂线段最短！ ← 点到直线，垂线段最短
最小值 = A到直线m的垂线段长
🎯 口诀
k=½配30°、k=√3/2配60°、k=√2/2配45°——系数翻成正弦，构造对应角。
②k>1：相似比造圆
例题2：2PA + PB 最小（P在⊙O上动）
在OA上取C使OC/OA=½（构造相似比） ← k>1时提系数：2(PA+½PB)…标准型2PA+PB=2(PA+PB/2)转胡不归？在圆上用母子相似：OC/OP=OP/OB=½ → △OPC∽△OBP
→ PC/PB = ½ → 2PC=PB → 2PA+PB=2PA+2PC=2(PA+PC)≥2AC ← 化回两点线段
最小值 = 2·AC（连AC即可）
③三模型决策树
🎯 决策树
系数k=1？→ 将军饮马（对称）
k<1？→ 胡不归（正弦构角，动点在直线上）
k>1？→ 阿氏圆（相似造点，动点在圆上）
记忆：直胡圆阿——"直线上用胡不归，圆上用阿氏圆"。
✏️ 变式：P在⊙O上，PA+½PB最小，选哪个模型？
k=½<1且P在圆上——混合型：在圆上用阿氏圆造相似把½PB转成PC（相似比2:1），再PA+PC≥AC。决策树先看k，再看动点轨迹；轨迹是圆优先相似构造。
④总结：带走这几样
📌 本节口诀
系数为1对称连（将军饮马）；
系数小于1，正弦构角胡不归；
系数大于1圆上转，相似造点阿氏圆；
直胡圆阿记心间，垂线段短收个尾。
易错清单（考前扫一遍）
① k=½却去对称（模型错用全盘错）
② 胡不归构造角的方向（30°线在l哪一侧）
③ 阿氏圆相似点C取在OA还是OB延长线（由k决定）
④ 最后忘了乘回提出来的系数
👨👩👧 家长陪学卡（今天10分钟）
1. 问："系数½、2分别用什么模型？"（胡不归/阿氏圆）
2. 问："为什么k=1才能对称？"（对称只能处理等权重）
3. 让孩子讲决策树——"先看系数再看轨迹"。