微课课堂 · 模型专题 · 压轴工具箱 · 第03节 ｜ 微课编号：WK-模型-03 ｜ 前置：WK-函数-03/04
开场"存在性"三个字=送分暗号
存在性题看着吓人，实际是分类讨论+方程的流水线作业：设点→列方程→解→验。四步走完，分数到手。
①等腰存在性：三分类
例题1：抛物线上找P使△ABP等腰（A、B定点）
等腰三情况：PA=PB / PA=AB / PB=AB ← 谁是腰不确定，三种都讨论，一种不漏
设P(t, at²+bt+c)（设横表纵） ← 抛物线上的点一个字母搞定
①PA=PB：两点距离公式平方列方程（t的二次/四次） ← 平方去根号是标准动作
②PA=AB、③PB=AB同理；每解出一个t都要回验"点是否在要求的范围"
等腰存在性=3个方程组，机械但必须全
②直角存在性：三分类+勾股/斜率
例题2：找P使△ABP直角三角形
直角三种：∠A=90°、∠B=90°、∠P=90° ← 直角顶点不确定
∠P=90°时：PA²+PB²=AB²（勾股）或 k_PA·k_PB=−1（斜率垂直） ← 两种等价工具选顺手的
每类一个方程，解完必验
✏️ 变式：y=x²−2x−3与x轴交A(−1,0)、B(3,0)，x轴上找P使△ABP直角？
x轴上的点P(p,0)：∠A=90°→PA⊥x轴不可能（P在x轴上与A共线）；同理∠B；只有∠P=90°可能吗——P在x轴上、A、B也在x轴，三点共线！此题P应在y轴或抛物线上——读题陷阱：题干"x轴上"时△ABP退化为线段。存在性题第一步永远是画草图看三点是否可能不共线。改P在y轴：P(0,p)，∠P=90°：(0−p)(0−p)+…向量法PA·PB=0→(−1−0)(3−0)+...=−3+p²? (−1,−p)·(3,−p)=−3+p²=0→p=±√3。P(0,±√3)。
③存在性四步流水线
🎯 四步（背下来）
1️⃣ 设点：P(t, at²+bt+c)——设横表纵
2️⃣ 分类：等腰3类/直角3类/平行四边形3类（哪个点为顶点）
3️⃣ 列方程：距离平方/勾股/斜率——平方去根号
4️⃣ 解与验：解完代回"是否在图上/范围内"，舍去不合的
铁律：漏分类=漏分，多解不验=可能多答扣分。
④总结：带走这几样
📌 本节口诀
设横表纵一个t，分类讨论三情况；
距离平方去根号，勾股斜率两工具；
解完必验合范围，存在性题四步走。
易错清单（考前扫一遍）
① 等腰只讨论一种（PA=PB），漏PA=AB和PB=AB
② 距离公式不平方硬算根号（算不动）
③ 忘检验t是否使点在抛物线正确位置
④ 三点共线的情况没排除（变式的陷阱）
👨👩👧 家长陪学卡（今天10分钟）
1. 问："等腰存在性为什么是三分类？"（谁是底边不确定）
2. 问："为什么设P(t, at²+bt+c)？"（抛物线上的点纵坐标由横坐标决定）
3. 让孩子讲例题2变式的"共线陷阱"——讲得出就是真懂分类前提。