微课课堂 · 模型专题 · 压轴工具箱 · 第06节 ｜微课编号：WK-模型-06 ｜前置：WK-模型-01

瓜豆原理：主从动点找轨迹

适合：冲压轴分｜预计用时：22分钟 ｜中考权重：约填空压轴新宠 ｜配套故事：欧拉（故事库）

开场动点的"跟班"问题

近年全国卷流行"双动点"：一个动，另一个跟着动。硬追坐标会疯，瓜豆原理一步定轨迹。

🎯 三定律
1️⃣ 主动点直线→从动点直线（位似/平移关系）
2️⃣ 主动点圆→从动点圆（半径按比例缩放）
3️⃣ 轨迹形状相同（直线对直线、圆对圆）——找从动点轨迹只需：取主动点轨迹的两个特殊位置，算出对应从动点，连线/定圆心
核心工具：从动与主动的关系=旋转+位似（或平移）。

例题1：P在直线y=2x上动，Q满足"Q由P绕原点逆时针旋转90°再缩小到½"，Q的轨迹？

关系=旋转90°+位似½ → 直线映成直线　← 瓜豆定律1

取P两个位置：P₁(0,0)→Q₁(0,0)；P₂(1,2)→旋转90°(−2,1)→缩½(−1,0.5)

过(0,0)和(−1,0.5)的直线即Q轨迹：y=−½x

例题2：P在以C为圆心r=4的圆上动，M为AP中点（A定点），M轨迹？

M=(A+P)/2 → M是以AC中点为圆心、r/2=2为半径的圆　← 中点=位似比½，瓜豆定律2

圆心"跟着缩"：C′=AC中点，半径=½r——然后最值就是两圆心距±半径

✏️ 变式：P在⊙O（r=2）上动，Q满足OQ=½OP且Q在OP上，Q轨迹与OP最小值？

Q轨迹：同心圆⊙O半径1（位似½）。"OP最小值"？OP是P到圆心距离恒为2——若问QA最小（A在圆外距O为3）：QA_min=OA−r_Q=3−1=2。瓜豆定轨迹→点圆最值=距离加减半径。

📌 本节口诀
种瓜得瓜种豆得豆，主动什么轨迹从动同；
直线对直线，圆对着圆；
取两个特殊点，轨迹立现；
圆上最值，圆心距加减半径。

易错清单（考前扫一遍）
① 硬算从动点坐标（不知用轨迹思想）
② 圆型忘缩放半径（位似比作用在圆心和半径两处）
③ 特殊点选得不好（选与旋转中心共线的点简化计算）
④ 轨迹是圆弧一部分（角度范围限制）时答成整圆

👨‍👩‍👧 家长陪学卡（今天10分钟）
1. 问："瓜豆原理一句话？"（主动点轨迹形状=从动点轨迹形状）
2. 问："怎么快速找从动点轨迹？"（取两个特殊位置）
3. 拿硬币沿直尺边推，看中心点轨迹——"跟班"思想生活化。